前言

1 几何学简史（部分）

几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献。几何学的发展史与人类文明史密不可分，其绚丽的画卷在人类历史长河中无处不见。在原始社会，人类在生产和生活中，积累了许多有关物体形状、大小以及相互之间位置关系的知识，比如：人们认识了他们猎物和生产工具的形状、大小，记住它们的居住地与打猎地的位置和方向。随着人类社会的不断发展，人们对几何学的认识也不断深入，从感性认识走向了判断、推理的抽象思维。在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有重要作用。几何学丰富而美妙，本文只是对几何学的发展略作梳理，希望给读者呈现一个较为清晰的脉络。

【资料图】

1.1 欧几里得几何学

几何学，特别是欧式几何学，是在人们对自然的认识基础上创造的出来的。在中国古代，主要的成就包括：《周髀算经》（公元前2世纪以前）中在测量中得到了勾股定理；赵爽（公元3世纪）注《周髀算经》时构造弦图对勾股定理进行了证明；《九章算术》（公元前1世纪以前）强调几何算术（代数）化，详细地讨论了面积、体积的计算方法；刘徽（公元3世纪）利用割圆术将圆周率精确到3.14，并发展了体积理论，指出了利用“牟合方盖”求球体积的正确思路；祖冲之（公元5世纪）将圆周率精确到3.1415926到3.1415927之间，还确定了圆周率的一些分数近似值，如等，他的儿子祖暅总结了祖暅原理（在西方称为“卡瓦列里原理”，在1635年提出），成功利用牟合方盖得到球的体积公式；秦九韶（公元13世纪）提出了三角形面积的计算公式——“三斜求积术“。

在古代印度，几何的研究相比算术、代数研究较少，主要的成就包括：阿耶波多（公元5-6世纪）改进了三角学，引入了弧度制；婆罗摩笈多提出了四边形面积的公式（此时只适用于圆内接四边形，但他没有注意到这一点）；马哈维拉（公元9世纪）给出了很多几何计算公式，包括椭圆周长近似公式。

在古代阿拉伯，主要成就包括：在天文学研究中海拜什·哈西卜（公元9世纪）在印度人基础上得到的正、余弦表和正切表；天文学家阿尔·巴塔尼（公元9世纪）创立的三角学术语，如正弦、余弦，同时发现了许多重要的三角学定理，后来又得到其他人的进一步丰富；纳西尔·丁（公元13世纪）脱离天文学发展三角学，系统阐述了平面三角学。阿拉伯对几何学十分重要的贡献还有保存了古代希腊的研究著作，对《几何原本》第五公设进行了讨论，为非欧几何的诞生奠定基础。

当然，谈到欧几里得几何，古代希腊的研究成果是避不开的。

古希腊有记载的最早的数学家是泰勒斯(Thales，约625B.C.-547B.C.)一般认为它发现了一些和三角形相关的定理，如全等三角形的AAS,SSS判定定理，他还提出了数学演绎（从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理）这一重要的证明思想。古希腊另外一位数学家是毕达哥拉斯(Pythagoras，约580B.C.-500B.C.)，他创立了毕达哥拉斯学派，这一学派重要的贡献是发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理），并研究了空间正多面体。在发现毕达哥拉斯定理后，人们发现了这样的数，并证明了与1的不可公度，对有理域扩域，为后世数学的研究产生了深远影响。而且毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，使数学由算术向理论开始过渡，在数形结合的观点影响下，几何学逐渐抽象。

在雅典时期，出现了巧辨（Sophism，也称诡辩）学派，其在几何学的成就是提出了古典数学作图三大难题，即：

三等分角问题

化圆为方问题

倍立方问题

这些问题都在现代数学中被证明不可用尺规画出。

与此同时，出现了柏拉图(Plato)学派，并建立柏拉图学院，该学派十分重视算术与几何，在柏拉图学院的门前就写着人们熟知的一句：“不懂几何学的学生，禁止入内。”这一学派发展了证明理论中的分析证明方法，系统（特别是用几何学的知识）整理了前人的的研究成果。

柏拉图学院中最有名的学生之一是欧几里得(Euclid)，将此前零散的数学知识进行整理、归纳、升华，写成《原本》（也称《几何原本》）一书，创立了欧几里得几何学，同时它称为了数学演绎体系的典范，为现代纯粹数学体系奠定了基础。在《原本》中，欧几里得创立了欧式公理体系，从定义、公理出发进行数学演绎，得到定理。比如书中定义了点、线和直线、面、角（锐角、直角、钝角、平角等）、圆（和圆心）、三角形（等边三角形、不等边三角形、直角三角形等）、多边形、平行线等等。《原本》中还提出了著名的欧式几何五大公设（与几何相关的公理也称公设）：

从任意一点到任意一点可以作直线

一条有限直线可以不断地延长

以任意一点为中心和任意直径可以画圆

所有直角彼此相等

若一条直线落在两直线上所构成的同旁内角之和小于两直角，把两直线无限延长它们将在同旁内角小于两直角的一侧相交.

后世的几何学有很多都是在欧几里得几何学的基础上改变一些定义和公理产生的，欧几里得几何学的重要性可见一斑。

除了《原本》，欧几里得还写了许多其他的书籍，大多数都已失传。

与欧几里得同时代的还有阿波罗尼奥斯(Apllonius，约262B.C.-190B.C.)和阿基米德(Archimedes，约287B.C.-212B.C.)。阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》用纯几何的方法研究圆锥曲线（注：在b站有人讲解这本书，感兴趣的读者可以搜索“圆锥曲线论”）。阿基米德的著作《圆的度量》和《论球和圆柱》用穷竭法解决了一些和面积、体积有关的问题.

1.2 射影几何学

公元3世纪，帕普斯(Pappus)对前人的数学研究进行了总结、整理、推广，写成了《数学汇编》，在几何方面，他发展了欧几里得、阿波罗尼奥斯和阿基米德的研究，并提出了交比、对合等概念（这些在后来都被应用在射影几何中），射影几何开始萌芽。

欧洲进入中世纪，数学的研究几乎停滞了，直到15、16世纪，由于绘画、雕塑等艺术的需要，人们发现了透视原理。笛沙格(Desargues, 1591-1661)最先开始研究这类问题。他在研究圆锥曲线时开始研究投影法，发表了著名的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，引入了无穷远点和无穷远直线，给出了笛沙格定理（详见本专栏第6章），证明交比是透视变换下的不变量，研究了对合概念并给出了笛沙格对合定理（详见本专栏第2章），引入调和点列的概念（详见本专栏第2章）和极点极线理论（详见本专栏第3章）。

与笛沙格同时期的帕斯卡(Pascal, 1623-1662)是他的好朋友，帕斯卡也对透视和圆锥曲线进行研究，写成了《圆锥曲线论》，发现了著名的帕斯卡定理（详见本专栏第2章）。

画家出身的拉伊尔(P. de LaHire, 1640-1718)受到笛沙格影响也研究了射影几何，他最重要的工作是发展了极点极线理论，初步产生了配极的思想.

笛沙格和帕斯卡使用了与欧式几何不同的思路研究几何，射影几何正式创立。然而，由于射影几何最初是从欧式几何中诞生的，当时的人们并没有意识到笛沙格引入无穷远元素后构成的空间已经不是欧式空间，依然将其看作是欧式几何，再加上与笛沙格、帕斯卡同时期的笛卡尔创立了解析几何，它相比于方法综合、只能定性分析的射影几何而言更为易懂、直接，因此逐渐蓬勃发展，射影几何在很长一段时间内淡出了人们的视野。

直到19世纪，蒙日(Gaspard Monge)等人复兴几何，射影几何在这一时期得到了大发展，其中最重要的数学家是彭色列(J.V.Poncelet, 1788-1867)。1822年，他在监狱中出版了著作《关于图形的射影性质》一书，他不同于以往笛沙格等人在欧式几何框架下研究射影性质，发现欧式几何中的很多度量，如距离、角度在射影变换下都是不变的，而交比是不变的。他提出，射影几何是研究图形在射影变换下不变性的几何学。

彭赛列的工作主要是：

将有限次透视对应构成的链看成射影对应（详见本专栏第2章），并将射影对应看成是研究射影性质的基本途径

提出“连续性定理”（“如果一个图形从另一个图形经过连续变化得到，并且后者与前者也一样地一般，则第一个图形具有的性质第二个图形也有），但并未给出证明

给出了圆锥曲线极点、极限的一般表达

建立了配极对偶原则（详见本专栏第6章），但没有给出对偶原则的逻辑证明

与彭赛列同时期研究射影几何的数学家还有雅克比(Jacob Steiner, 1796-1863)和沙勒(Michel Chasles, 1793-1880)，他们都对射影几何的发展作出了贡献。

1847年，德国数学家冯·施道特(K.G.C. von Staudt, 1798-1867)等人建立了射影几何的公理系统，射影几何正是成为一个与欧式几何独立的几何学科。

与此同时，莫比乌斯(Augustus Ferdinand Möbius, 1790-1868)和普吕克(Julius Plücker, 1801-1868)引入了齐次坐标（详见本专栏第6章），在射影几何研究中引入了代数方法，同时推动了高维几何的研究.

1872年，德国数学家克莱因(Felix Klein,1849-1925)从射影几何出发，推出了欧式几何与双曲几何、椭圆几何等非欧几何，在爱尔兰根(Erlangen)纲领中将欧式几何、非欧几何、代数几何、拓扑学看作是射影几何的子几何，对几何学发展产生了长达半个世纪的影响。虽然随着现代数学中几何的发展，爱尔兰根纲领不能包罗一切，但他对几何学下的一个经典定义对后世的研究产生了深远的影响：几何学是研究空间在某个变换群下不变性的一门学问.

1.3 解析几何

我们知道，解析几何的基本思想是用坐标（有序数对）描述空间中点的位置，这一思想在古代曾出现在阿波罗尼奥斯等人的推导中，但没有明确地指出。到了16世纪，人们迫切的需要这种方法定量描述位置和运动，解析几何应运而生。

与射影几何的创立者笛沙格与帕斯卡同时代，另外两位数学家笛卡尔(Descartes,1596-1650)和费马(Fermat, 1601-1665)创立了解析几何。

笛卡尔的著作《几何学》详细地介绍了他创立平面解析几何的过程，他将曲线与方程联系在一起，引入了变数的概念。费马创立解析几何的出发点是研究平面轨迹，在这个过程中提出了坐标系和坐标的概念。

解析几何的方法创立之初并没有很酷哦得到接受，一方面是二人的书让别人不好理解，另一方面是人们不认可代数与几何结合的做法。对于解析几何，人们是不断地接受和完善的。

后来，随着对各种问题的深入研究，牛顿(Isaac Newton, 1642-1727)和伯努利(James Bernoulli, 1655-1705)创立了极坐标系。18世纪，解析几何学繁荣发展，人们创立了三维坐标，发展了空间解析几何。

1.4 非欧几何

在《原本》问世后，很多人对其第五个公设不满意，认为其叙述格式不简洁，人们将之等价地替换为我们熟知的平行公理，即：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。历史上还有很多对第五公设不满意的人，希望利用其他四个公设和五个公理推出第五公设，结果都以失败告终。

高斯(Carl friedrich Gauss,1777-1855)就是其中之一，他在这个过程中希望改变第五公设建立其他集合体系，为此提出了“非欧几里得几何”这个名称，但他并没有深入研究。与高斯同时期发现非欧几何的还有波约(J. Bolyai, 1802-1860)和罗巴切夫斯基(Lobatchevsky, 1792-1856)。

最著名的非欧几何有罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和双重椭圆几何（黎曼几何）。

罗巴切夫斯基将欧几里得第五公设改为：过平面上任一已知直线外的任一点，至少能引两条直线与该已知直线不相交（这称为罗巴切夫斯基公设）。在这一几何体系下，可以得到许多在欧式几何看来不可相信的结论，如：三角形内角之和小于两个直角，不存在面积任意大的三角形，如果三个三角形三个角相等，则它们全等。

黎曼(Riemann, 1826-1866)创立的黎曼几何建立在微分几何的基础上，它不承认平行线的存在，而将第五公设规定为：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。在黎曼几何中也可以得到一些在欧式几何看来神奇的结论，如：三角形内角之和大于两个直角。

黎曼几何中最重要的一种对象是所谓的常曲率空间（即在没一点上曲率都相等的流形），对于三维空间，有如下三种情况：

曲率为正常数

曲率为负常数

曲率恒为零

这三种分别对应了黎曼几何、罗巴切夫斯基几何与欧式几何，它们又分别称为椭圆几何、双曲几何与抛物几何。由此也可以看出，人们在航海过程中发现的球面几何是黎曼几何的一个例子。

除了前面介绍的几何，几何学还包括微分几何、几何拓扑、代数几何、分形几何等很多领域，由于作者水平有限，这里不能很好地讲解出来，读者可以自行查询文献和网站了解。

值得一提的是，希尔伯特(Hilbert, 1862-1943)在1899年出版的《几何基础》把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，把几何重新定义，重建了几何学，不但把传统的欧几里得的《几何原本》改良，更把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。

宇宙之大，无边无际，宇宙的奥秘无穷无尽，几何学的发展必将永无止境。

2 杂谈

其实我打算学习这些内容很久了。大约两年前，我在学完高中的解析几何后抱着练习的心态翻开了《命题人讲座·解析几何》这本书。读过这本书的人会发现，这本书除了前两章，都和高中解析几何没有直接关系，而都是射影几何相关的内容。更何况，我当时卡在了那本书第二章的最后一节，也就是这一系列第一章的内容。这些都是对二次曲线基本的描述，然而当时的我读到这里时是懵的，我不知道为什么定义二次曲线时要引入那么多矩阵和行列式，找到渐进方向要关注二次项部分的系数行列式……当时的我，一方面对线性代数的理解十分粗浅，而且线性代数的基本功很不扎实，另一方面对二次曲线的理解不够深刻。因此我便暂时先放下打算以后有时间再仔细研读。

当然还有另外一个原因，那就是在中考前那两周不太想复习，就找来了那一年刚刚考完的高考数学题做。那一年全国各地的高考卷子中，解析几何的大题几乎都是我所熟悉的二级结论，而那些结论，几乎都有射影几何背景。因此我便更想去比较细致地学习它们。

时间过去两年，我对线性代数有了一定的理解，对圆锥曲线也有了深入的认识。当我再次翻开这本书的时候，结合其他的文献和网络资源，我能够深入学习这部分内容。

这个系列的专栏我给他的命名是“平面解析几何进阶”，考查的范围是二维平面，研究的对象主要是解析几何。事实上，这个名字并不严谨，因为本系列射影几何的内容明显多余解析几何，其原因就在于“进阶”二字上。这个系列的专栏主要面对的群体是中学生，对于其他群体，希望给读者一个入门的教程。中学生在课内的数学课上，会学到平面解析几何，其中最重要的内容是圆锥曲线，当了解了射影几何的一些想法后，我想会对解决高中解析几何问题产生有益影响。

当然，这些内容从应对高考的角度来说，只能算是锦上添花。首先这些内容如果出现在高中正规考试的解答过程中，基本上得不到分，本专栏的目的只在于拓宽思路，从其他的视角来看这些题目；其次对于任何一个中学生来说，自己的计算能力还是应该增强的硬功夫，不应该依赖“奇技淫巧”和二级结论，虽然近十年的高考题和各地模拟题中出现了大量具有射影几何背景的题目，但这种情况我认为会不断减少，只有当计算能力足够强的时候，才能很好地“驾驭”考试。

考虑到读者大多是中学生，主要还是以应对考试为主，因此本系列并没有按照一般高等几何或射影几何书籍的一样先介绍齐次坐标和对偶原则，然后再进入射影变换等内容。本系列专栏的基本内容如下：

第一章对二次曲线基本理论进行梳理，介绍了二次曲线的分类、渐进方向、中心、二次曲线的化简等概念。

第二章和第三章直接进入到在高考中应用较多的射影变换和极点极线理论，介绍了射影变换与对合，用射影变换证明了帕普斯定理、帕斯卡定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理、笛沙格对合定理等著名定理。第三章作为射影变换的应用，介绍了极点极线与配极变换。

第四、五章作为深层次的理解，比较充分地运用线性代数理解一些空间和变换。

第六章正式引入齐次坐标、射影平面和对偶变换，将读者对射影几何展示了更加广阔的研究空间。

由于面对的主要群体是中学生，因此本专栏对一些内容讲得有些简单（如仿射），希望更深入了解应当查看更加专业的书籍，而且一些可以用抽象代数理解的知识也没有加入，代数知识最多只涉及线性代数。另外，由于我个人水平有限，错误是难免的，还请读者原谅，欢迎大家多多批评指正！

书籍推荐

1 射影几何

1. 《命题人讲座·解析几何》

这本书的相对而言用的语言比较初等，而且更偏向于数学竞赛。

2. 《高等几何》

这本书版本较多，大多数版本应该都比较适合学习。

3. Algebraic Projective Geometry 作者：J. G. SEMPLE & G. T. KNEEBONE

这本书据说是牛津大学研究生学习射影几何的教科书，写得非常清楚，非常适合自学入门。我看的是英文版，可能有中文版，大家可以在网上自己查找。

4. 《射影几何趣谈》作者：冯克勤

这本书算是一个科普书，讲得深入浅出，适合入门。

2 线性代数

线性代数的书籍有很多，我主要推荐下面两本：

1. Introduction to Linear Algebra 作者：Gilbert Strang

这本书讲得非常好，内容也很充实，有一些内容与圆锥曲线相关，适合入门线性代数。这本书目前好像没有中文版，但好消息是读这本书对于一般英语水平的人来说应该不成问题。

2. 《线性代数与几何》作者：威廉·克林根贝尔格

这本书更加侧重于线性代数与几何的联系，而且讲解顺序和上一本不一样，是先从集合、映射、群等概念开始讲起的。

目录

第一章 平面二次曲线

第二章 射影变换（上）

第二章 射影变换（中）

第二章 射影变换（下）

第三章 极点、极线与配极变换

第四章 度量性质

第五章 仿射变换

第六章 齐次坐标与平面对偶原则